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Contribución a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas.
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La lección del pato Donald
Hemos estado charlando durante cinco artículos de transformaciones. Y en todos los casos hemos partido de un material inicial y luego hemos estudiado el objeto ya transformado. Hasta ahora no nos ha preocupado en absoluto el proceso de transformación.
Un gag clásico de casi cualquier serie de dibujos animados es que el protagonista —digamos que el pato Donald— caiga por una ladera nevada. Primero vemos al protagonista rodando. Poco a poco le va envolviendo una bola de nieve, de la que asoman el tronco y las patas. La bola va creciendo hasta que cada vez es mayor y es menos la parte de Donald que asoma. Va saliendo sólo la cabeza, luego el pico… hasta que por fin sólo vemos una esfera sin ningún pato dentro.
La figura “PatoDonald” se ha transformado en la figura “esferaDeNieve”. Si directamente detrás del pato pusiéramos la esfera, nadie entendería la relación entre las dos imágenes. En este caso lo que realmente le da la gracia al gag no es la transformación, sino el proceso por el que una figura se convierte en la otra.
Dejo caer que a este proceso de ir acumulando cosas sobre un núcleo central que va así mutando poco a poco podemos llamarlo “acrección” o ”cristalización” y que puede ser de gran interés para la construcción de formas musicales. Quizá en su momento le dedique otra serie.
Pero estamos dirigiendo estos artículos para músicos con curiosidad por la topología, topólogos con curiosidad por la música y gente curiosa en general.
¿Un café?
Comentábamos en el primer artículo que hay quien denomina a la topología “la ciencia de transformar una taza de café en un donut”. Observando la animación que nos acompaña, podemos ver como poco a poco la taza se deforma hasta convertirse en un donut y viceversa: estamos estudiando el proceso de transformación, que nos interesa tanto, o quizá más que el material inicial y el resultado final.
No hace tantísimos años que estaban de moda los morphings, y quién más, quién menos, había hecho alguno con su propio retrato. Una vez más estamos hablando de cómo nos interesa tanto o más el proceso que los extremos del mismo.
Observemos, por último este gráfico larguísimo que nos acompaña (quizá sea mejor que hagáis click en él para verlo a un tamaño razonable). Podemos observar que el hexágono inicial va poco a poco deformándose para irse transformando en una figura que nadie hubiera podido sospechar. Pero siguiendo el proceso cada paso va siendo razonable, evidente y hasta intuitivo.
¿No sería posible encontrar músicas que siguieran este proceso? ¿Músicas en las que más que transformar elementos lo que hiciéramos fuera disfrutar de la observación del proceso por el que se transforman?
Hay razones para suponer que una inmensa mayoría de las formas musicales se comportan así, pero de forma demasiado compleja para tratarlas en estas líneas, que pretendo bastante intuitivas. Cito, para quien quiera profundizar estos estudios que no es imposible relacionar las técnicas de Schenker con los conceptos de recursividad y fractales y sigo con lo que es propiamente la materia de esta serie, con ejemplos mucho mas fáciles de entender.
En efecto, hubo una corriente musical llamada “process music”, antecesora quizá del minimalismo, en la que lo que se hacía era poner en marcha una serie de parámetros musicales y dejar que evolucionaran por sí mismos. Nombres como Philip Glass, Michael Nyman o Bryan Eno formaron parte del movimiento. Pero prefiero poner como ejemplo una música mucho más conocida, aprovechando la inluencia que el rock tuvo sobre ese movimiento y ese movimiento sobre el rock: Tubular Bells, de Mike Oldfield.
En efecto, el fragmento que os propongo de esa obra presenta una estructura en todo semejante a la de bola de nieve de Donald de la que hablábamos al principio. Observamos una estructura básica que se repite (y a la que ya sabemos llamar ostinato) sobre la que van apareciendo materiales nuevos, que se superponen unos sobre otros (la bola de nieve va creciendo). Estos materiales, en paridad, no son muy distintos entre sí, sino que van añadiendo sobre todo densidad y timbre. Pero esto lo convierte en un ejemplo muy apto para que el oído entienda con facilidad el concepto.
Quizá muchos de vosotros hubiérais preferido la versión original del tema y un maestro de ceremonias diferente. Sin embargo en esta ocasión tenía interés en todo estuviera en castellano, para que fuera más sencillo de entender.
Os presento otro ejemplo muy similar del gran maestro Ravi Shankar, en colaboración con Philip Glass, pretendiendo todavía emplear música bastante conocida. Aunque la estructura es ligeramente más compleja, no merece ahora la pena entrar al detalle,
Ligeti y Escher
No faltará quien esté extrañado de que aún no haya aludido al que sin duda es el más famoso autor de ejemplos visuales para el tema que nos ocupa: Escher, el gran maestro de la transformación.
Poco que puedo decir de él que no se haya dicho antes y mejor, sobre todo si no quiero entrar en ciertas complejidades musicales, así que me conformaré simplemente con hacer notar que muchos comportamientos musicales del gran Ligeti son modelables según sus imágenes, o viceversa. Como ejemplo os añado una página de su obra emblemática “Continuum”, con la imagen tan empequeñecida como para que os fijéis más en el trazo que en las notas. A partir del segundo sistema, si os fijáis en los espacios en blanco va formándose una especie de árbol de Navidad horizontal que poco a poco se va alargando. Un proceso similar ocurre en la sustancia musical: núcleos de pocas notas a las que poco a poco se suman otras, luego algunas se restan, hasta que encontramos un núcleo completamente diferente desde el que vuelve a comenzar el proceso.
Os añado la simpática transcripción para organillo de feria.
Músicas como ésta resultan a veces al público “raras”, en la medida en que no estamos escuchando una melodía o un ritmo al uso. A otros resultarán sin duda fascinantes, en razón precisamente de su novedad. Para satisfacer a ambos tipos de persona voy a acabar con este excepcional estudio, también de Ligeti. Su construcción es semejante, si bien para una comprensión completa sería de gran interés añadir algunos comentarios biológicos.
En el tintero
En una serie tan larga como ésta siempre se queda uno con ganas de haber explicado más cosas o haber metido más obras, haber desglosado algunas ideas en todavía más pasos… No lo he hecho porque la intención de esta serie es sobre todo divulgar y entretener. Me hace mucha falta dada mi profesión de profesor hacer cuanto me sea posible por no caer en dar lecciones con los artículos. Con todo me vais a permitir que cite algunas obras que tuve en mente para colocar aquí.
- El canon “de la raíz cuadrada”, de Nancarrow, como ejemplo de aumentaciones y disminuciones.
- “L’échange”, de Messiaen, como ejemplo de lo tratado en este mismo artículo
- Los catorce cánones sobre el bajo de las Goldberg, como demostración de todo lo tratado hasta el cuarto artículo
- La Passacaglia en do menor de Bach, por las mismas razones.
Bastantes se me quedan aún en el tintero: ya habrá ocasión.
Aprovecho para dedicar esta serie a Vailima de Samoa, Tio Petros, y Palimp, por un lado, pues fueron quienes tiempo atrás me convencieron con su amabilidad y comentarios de escribir sobre estos temas. Y por otro lado a Marta Macho Stadler, que me ha convencido de hacerlo ahora. Si algo os divierte, parte de la responsabilidad es suya. De lo que no os guste me he encargado yo solo.
Al sur de Bach 