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Contribución a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas.
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Otras transformaciones
En este artículo y el siguiente vamos a navegar mares mucho más inexplorados. Algunas de las ideas que veremos aquí han sido usadas con mayor o menor amplitud a lo largo de la historia. Otras son recientísimas. Algunas son discutibles y discutidas, otras son incontrovertibles. Posiblemente algunas de las que visualmente son más evidentes no han tenido una mayor repercusión histórica porque en general la música sólo se ha comparado al lenguaje hablado, y a éste, por así decirlo, es difícil atribuirle más dimensiones que la simplemente temporal.
De donde salen las ideas
No deja de ser posible que a alguno de vosotros se le haya ocurrido, viendo en el artículo anterior las analogías visuales de aumentación y disminución, que algo falta. Los dibujos que allí se mostraban distorsionaban la dimensión horizontal, manteniendo estable la vertical. ¿No podríamos intentar lo contrario, mantener estable la dimensión horizontal —que vendría a equivaler al tiempo— y distorsionar la vertical —que vendría a equivaler al tamaño de los intervalos—? Dentro de un momento comentaré usos que se han hecho de esta posibilidad, pero aunque así no fuera, desde este momento digo que este tipo de pensamientos sobre una analogía son una fuente legítima de ideas. Algunas veces estas ideas son prodigiosamente útiles. Otras son intentos fallidos. En cualquiera de los casos tener una idea musical desde una analogía, visual o de otro tipo, no es garantía de su buen funcionamiento —eso debe juzgarse musicalmente— ni es motivó para su rechazo. Todo estímulo que ponga en marcha la imaginación del compositor es siempre bienvenido.
Unidades de medida
Convendrá en primer lugar, si queremos pensar en distorsiones de la dimensión interválica de un determinado material, saber qué estamos midiendo, y de acuerdo a que criterios. En música llamamos intervalo a la distancia entre dos notas, y solemos medirlo de acuerdo a una determinada escala (por ejemplo, en intervalo entre Do y Mi, medido en la escala de Do mayor es una tercera, porque contando las notas desde DO, DO—RE—MI, esta última es la tercera nota).
El problema es que las escalas empleadas durante el periodo tonal son de construcción irregular, es decir, que la distancia real de una segunda, una tercera o cualquier otro intervalo no es siempre la misma. Por ello, para los casos en que necesitemos una medida absolutamente precisa podemos usar otros tipos de unidad. Nosotros emplearemos la que, probablemente, sea la más sencilla de entender para no músicos: el número de semitonos que separan las notas que deseamos estudiar.
El gráfico con los circulitos que aquí podemos ver representa las escalas llamadas mayor y menor natural. Y donde quizá para un músico no sea absolutamente claro, para un topólogo debe probablemente ser una alegría: cualquiera de los gráficos puede deformarse hasta convertirse en el otro: son por tanto homeomorfos.
Hemos comentado en capítulos anteriores que parece ser que el oído es enormemente capaz de detectar los homeomorfismos sonoros, en terminos de relación, parentesco, unidad… Por lo tanto el cambio del tamaño interválico, la distorsión del parámetro vertical aludida al principio del capítulo, son potencialmente material útil para la construcción de músicas.
El asunto puede llegar a ser bastante más complejo de lo necesario si además tenemos en cuenta que, si salimos de las perspectivas puramente tonales, algunas escalas tienen más o menos de siete sonidos, y la distancia entre estos es variable. Eso sólo podría dar lugar a:
- Que si el oído es incapaz de detectar tales relaciones nos encontremos con un goloso argumento teórico que no tendría ninguna utilidad.
- Que acabemos de encontrar otra forma de conseguir unidad y variedad (forma musical) mediante una transformación nueva.
“Soluitur ambulando”: el movimiento se demuestra andando. Voy a tomar una melodía muy conocida y someterla a varias deformaciones interválicas: si logramos sentir en todas ellas una cierta relación, es que el sistema puede funcionar. Escuchémoslo.
[audio:http://enriqueblanco.net/wp-content/uploads/2012/09/DoDoSolSol.mp3|titles=Variantes interválicas]
Funciona, ¿verdad? Podemos pues dar por válidas las
Disminuciones y aumentaciones interválicas
Con todo el exordio anterior pienso que han quedado definidas: se trataría de someter los intervalos a un aumento o disminución de su tamaño. No conozco ninguna pieza en que esto se haga de manera regular como para ponerla aquí de ejemplo, pero es evidente que el mismo concepto de modulación depende de ello, así como que existen multitud de ejemplos fragmentarios en todo tipo de obras: pienso ahora mismo en la genial transformación que el tema de la fuga de “Música para cuerda percusión y celesta” de Bartók sufre en el cuarto movimiento.
En capítulos anteriores he propuesto pequeños enigmas: el de este artículo va a ser proponer que, usando esta técnica, transforméis a BACH en CAFE.
Los topólogos son gente contínua
Las transformaciones que hemos visto hasta ahora son, digámoslo así, estáticas. Quiero decir que el material sobre el que trabajamos lo sometemos a transformación y empleamos la versión transformada. Pero existen otros tipos de obra en que la forma musical se consigue mediante la lenta deformación del material, consiguiendo versiones en cada una es muy similar a la inmediatamente anterior y la inmediatamente siguiente, pero la diferencia entre el material original y la versión final puede ser enorme. Constituirán la materia del siguiente y último capítulo.
Al sur de Bach 
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