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Contribución a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas.
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Preliminares
En este artículo vamos a explorar dos transformaciones más, también clásicas, y gracias a ellas más las ya vistas estudiaremos otras formas de construir obras.
Aumentación y disminución
Si bien estas técnicas son de enorme antigüedad, ciertamente no menor a la de las ya estudiadas, no se suelen considerar dentro de las transformaciones temáticas “oficiales”. Probablemente porque el tipo de cambio que efectúan sobre el material dado implica cierta distorsión.
La aumentación consiste en prolongar las duraciones del material original, haciendo así que resulte más largo. La técnica clásica de aumentación multiplica los valores por dos (aumentación simple) o por cuatro (aumentación doble). Estilos previos a la tonalidad, y ciertamente los posteriores son mucho más ricos en las posibilidades de multiplicación, llegándose a números fraccionales (Messiaen) y hasta a la raíz cuadrada de dos (Nancarrow).
Arriba podemos ver una analogía gráfica de la aumentación, en la parte inferior de la ilustración. Como se ve, implica cierta distorsión, muy en la línea de Botero. Quizá esta distorsión es la que ha hecho que la técnica no se considere tradicionalmente integrada con las transformaciones clásicas.
Como ejemplo veamos en primer lugar el canon por aumentación y moviemiento contrario del Arte de la Fuga de Bach. Observad que ya se juntan tres transformaciones diferentes: transporte (el canon se efectúa a la cuarta inferior), inversión y aumentación.
Esta acumulación de transformaciones hace que a veces haya quien piense que tanta técnica no puede ser buena y ha de ir en detrimento de las especiales cualidades sensibles del compositor. Aparte de repetir, como suelo, que menos mal que no se aplican tales criterios a los arquitectos, suelo añadir el canon por aumentación y movimiento contrario de la Ofrenda Musical, que puede muy bien ser una de las piezas más conmovedoras que conozco.
La disminución sería exactamente la técnica inversa: acortamos las duraciones de las notas. Una vez más la técnica tradicional emplea potencias de dos, dando a las notas la mitad de su valor (disinución simple) o la cuarta parte (disminución doble). Y una vez más, estilos anteriores y posteriores al periodo tonal resultan mucho más ricos en el tipo de transformaciones temporales que permiten.
Si antes nuestro ejemplo pictórico fue Botero, para la disminución bien podría ser Giacometti.
Vamos a ejemplificar todo esto mediante el canon VII de “El arte de la Fuga“, que emplea las dos técnicas. Hay que comentar que estos tipos de canon aportan una dificultad especial: el canon por aumentación va alejando cada vez más el antecedente del consecuente, con el potencial riesgo de no acabar nunca. El canon por disminución en cambio los acerca cada vez más, con lo que el final puede producirse de maner abrupta.
Forma musical, de nuevo
Hasta ahora todos los ejemplo que hemos puesto han sido de cánones, para una mayor facilidad. Sin embargo están lejos de ser la única manera de crear forma musical, o incluso la más usada.
Mucho más frecuente durante el periodo tonal es el llamado comportamiento motívico-temático, que viene a consistir en que usamos fragmentos musicales, a modo de piezas de puzzle para construir nuestras líneas melódicas. Estos fragmentos se tratan habitualmente por medio de transportes, inversiones, retrogradaciones, inversiones retrógradas, aumentaciones y disminuciones (¿os suenan?).
Con las técnicas hasta ahora tratadas estamos en condiciones de analizar melódicamente obras incluso muy complejas, cualquier fuga, la Passacaglia en do menor de Bach…
Observad, por ejemplo, esta partitura, ya un clásico de Potsdam 1747. Se trata de la invención número 1 de Bach.
- Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor—.
- Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.
- Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —aumentación—.
- Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.
- Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.
- Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.
La podemos escuchar aquí, interpretada por el muy añorado Gustav Leonhardt.
Hasta ahora hemos visto pues como unos procedimientos que son modelables según la topología se encuentrarn en la mismísima raíz de la música occidental. Los ejemplos podrían ser innumerables. Vamos a dedicar los siguientes artículos a procedimientos menos comunes, o menos estudiados.
Al sur de Bach 