Visualizar la música, oír las matemáticas (1)

Contribución a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas. Web de «Carnaval de Matemáticas» Web de :: ZTFNews.org, blog anfitrión

Algunas bases previas

Descripción de intenciones: para matemáticos

Conozco más de un matemático que canta en un coro, toca como buen aficionado un instrumento, mantiene quizá un pequeño grupo de cámara…

Mi caso es exactamente el opuesto (¿me autorizarían los matemáticos a decir que el simétrico?): soy un músico que a ratos libres y por afición lee, entre otros temas, sobre matemáticas. Creo poder decir que me suenan muchas cosas de esta ciencia, aunque es obvio que ni estoy, ni lo pretendo, capacitado para formalizar algunos planteamientos.

Considero que la razón de que a veces tanto la música —sobre todo en sus aspectos compositivos— como las matemáticas parezcan más complejas de lo que normalmente son es la necesidad, en uno y otro caso, de utilizar una notación que no todo el mundo domina. Más de una vez mientras explicaba a músicos en proceso de formación y no músicos algunos temas, he encontrado que pautas geométricas y topológicas son visualmente tan claras que se elude, o al menos se pospone, la escritura y notación correcta para las mismas.

En estas líneas pretendo establecer un breve muestrario de algunos de esos ejemplos visuales: los que de alguna forma se relacionan con lo matemático. Y digo muestrario y no estudio porque mi intención es la de despertar algunas sonrisas apreciativas, no la de elaborar una relación exhaustiva.

Descripción de intenciones: para músicos

[pullquote align=»left|center|right» textalign=»left|center|right» width=»30%»]“Que podamos explicar gracias a conceptos matemáticos un determinado fenómeno no implica que el compositor lo haya pensado así”[/pullquote]En el mundo de la música existe una tendencia notable a desconfiar de las matemáticas, e incluso a valorar negativamente una obra diciendo que es “demasiado matemática”. En mi opinión, es una idea relacionada con una enseñanza defectuosa y con una comprensión insuficiente de esta ciencia.

Que podamos explicar gracias a conceptos matemáticos un determinado fenómeno no implica que el compositor lo haya pensado así (sabemos en muchos casos — proporción áurea en Bartók—, que sí, de la misma forma que sabemos en otros —porporción áurea en Chopin— que no). Simplemente hay veces que es la forma más concisa de explicar algo.

Añado una lista incompleta —nunca podría ser completa— de formas en que las matemáticas y la música se relacionan:

1. Para explicar la física del sonido.
2. Se pueden usar los números en forma que llamaremos de momento cabalista como estímulo en la imaginación del compositor para crear parte de su música. Es el caso de una inmensa cantidad de compositores barrocos —Juan Sebastián Bach es uno de los casos más señalados—, y, entre los recientes, de ciertas obras de, por ejemplo, Luis de Pablo, Boulez, Berio y Takemitsu.
3. Se pueden emplear otras técnicas matemáticas para generar parte de la obra, Como ejemplos se me ocurren: el empleo de técnicas algorítmicas y combinatorias (Mozart, El juego de los dados musicales), estadísticas (gran parte de la obra de Xenakis) o matriciales (gran parte del serialismo norteamericano).
4. Llegan a modelar determinados parámetros de la obra de tal forma que se pueda generar ella sola a partir de un material inicial dado. Es algo bastante reciente, que ha dado algún resultado espectacular y bastantes que no tanto.

Forma musical

Somera aproximación al concepto

Una de las cosas más necesarias para un buen funcionamiento de la música es que tenga unidad. Quiere decirse que la obra tenga en todo momento alguna característica que nos haga entenderla como obra musical, en primer término, y como siempre la misma obra, en segundo.

Un paisaje campestre en que suena el arrullo de un río, mezclado con el gorjear de los pájaros y la radio del señor de al lado a todo volumen puede resultar una experiencia sonora disfrutable (sobre todo si el señor de al lado se queda sin pilas para la radio). Pero no es una obra musical propiamente dicha.

Un zarandeo al dial de la radio (si es que quedan radios con dial) pasando de emisora en emisora, de fragmento musical en fragmento musical puede, de la misma manera entenderse como algo sonoramente interesante. Pero de nuevo, no es una obra musical. (Una discusión en el ejemplo anterior y en éste sobre la obra de Cage se sale de los límites que me propongo).

En uno y otro caso, los resultados sonoros obtenidos no dependen de la volición de un autor, lo que en términos tradicionales les aleja del concepto de obra de arte. Pero, mucho más importante para el caso que nos ocupa , es que carecen de unidad. No se ha establecido medio alguno para que la obra asuma una identidad.

El otro parámetro necesario para una obra musical además de la unidad es la variedad. Su ausencia puede resultar en obras con tremenda unidad, pero difícilmente atractivas. Quien haya “disfrutado” de las pautas percusivas que se repiten durante días enteros en determinadas obras meditativas de los monjes asiáticos puede hacerse cabal idea de lo que digo.

Muchas son las maneras en que se puede producir ese equilibrio entre unidad y variedad, al que a menudo denominamos forma musical. Vamos a explorar algunas de las que son más sencillas de identificar por medio de analogías visuales.

Contrapuntos básicos

Ostinatos

Repitiendo en forma incesante una melodía vamos a conseguir fácilmente una obra unitaria: cualquier sorpresa que nos pudiera deparar una primera audición del fragmento va a desaparecer cada vez más en audiciones posteriores.

Tomemos como ejemplo esta melodía de Haydn. Podríamos repetirla de forma indefinida y es obvio que las sorpresas que pudiera depararnos serían pocas al cabo de algunas audiciones. Para indicar que una melodía se repite de manera indefinida era costumbre en tiempos antiguos deformar el pentagrama hasta hacerlo circular, de manera que el final encajara con el principio. Algo como lo que podemos ver en este ejemplo.

A este tipo de comportamiento lo denominamos en música ostinato. Y, matemáticamente, puesto que podemos desde cualquiera de las dos representaciones recuperar todos los parámetros de la otra, podemos decir, matemáticamente que son homeomórficas. Podemos con esto, de momento, dejar zanjado el tema de los ostinatos. Necesitamos aún mayores herramientas y conocimientos para sacar el inmenso jugo musical que se llega a derivar de ellos, y bien pudieran ser la materia de un próximo artículo. Vamos más bien a aportar algunos de los conceptos que pudiéramos necesitar en tal caso.

Me permito también presentaros una rama de las matemáticas llamada topología, que se dedica a estudiar las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas al someterlos a transformación. La conversión de la melodía anterior de una representación lineal a otra circular sería un ejemplo. No falta quien la conoce por la ciencia que estudia como transformar una taza de café en un donuts.

Cánones

Resulta bastante evidente que la repetición constante de una melodía, por interesante que sea, va a acabar resultando cuanto menos monótona. Carece del necesario factor antes nombrado: la variedad. Necesitamos añadirle algo, aportar algo nuevo. Y, ¿qué duda cabe que resultaría elegantísimo que esa aportación estuviera relacionada de alguna forma con el material ya presentado? Repetir quizá el ostinato con más voces, con más elementos. Pero la simple repetición simultánea sólo aportaría intensidad y, quizá, valor tímbrico. Resultaría más interesante que la repetición no fuera simultánea. En el gráfico que nos acompaña he duplicado la melodía de Haydn, y la he rotado levemente (obsérvese que, por ejemplo, el número dos de la exterior coincide con el uno de la interior). Acabamos de crear lo que en música se denomina un canon.

Haydn realiza esta operación hasta superponer cinco versiones diferentes de la misma melodía, con el resultado que podemos apreciar en el siguiente vídeo.

Éste es un momento tan bueno como cualquier otro para indicar que a los cánones que pueden repetirse indefinidamente, volviendo a comenzar según acaba cada voz los denominamos cánones infinitos.

El celebérrimo y archiconocido canon de Pachelbel reune los dos comportamientos (ostinato y canon) que hemos estudiado hasta ahora. Os presento esta interesantísima grabación con cajas de música, que resulta además una atractiva metáfora visual del proceso.

La fascinación de los cánones es enorme, y ya habrá ocasión de comentar más al respecto. Pero para continuar esta serie requerimos de nuevos conceptos, que van a comenzar a aparecer en el próximo capítulo.

 

 

Índice de toda la serie

Visualizar la música, oír las matemáticas (1)

Visualizar la música, oír las matemáticas (2)

Visualizar la música, oír las matemáticas (3)

Visualizar la música, oír las matemáticas (4)

Visualizar la música, oír las matemáticas (5)

Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)