Visualizar la música, oír las matemáticas (2)

Contribución a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas. Web de «Carnaval de Matemáticas» Web de :: ZTFNews.org, blog anfitrión

Preliminares

Comentábamos en el artículo anterior la necesidad de equilibrar unidad y variedad para conseguir la forma musical. Y lo ejemplificamos por medio de los cánones. Sin embargo ni es el único procedimiento ni resultaría satisfactorio para lograr obras de grandes dimensiones. Necesitamos que los propios recursos de unidad y variedad puedan aparecer en la propia línea melódica.

Muchos son los procedimientos que podemos emplear para ello. Entre los más interesantes para nuestros fines están las denominadas cuatro transformaciones temáticas del contrapunto. Que, siguiendo la honrosa tradición compartida con, por ejemplo los Tres Mosqueteros —que eran cuatro—, ni son cuatro, ni tienen por qué ser temáticas, ni se aplican necesariamente de forma contrapuntística. Eso sí, son transformaciones.

Transformaciones

¿Qué es una transformación?

Mata-Hari, la famosa espía puede sernos de ayuda en esta explicación.

Expliquemos ésto sin recurrir a música ni a matemáticas. Empleemos el espionaje, que es mucho más emocionante. Si estuviéramos en territorio enemigo y necesitáramos pasar información urgente a los de nuestro bando, es posible que tuviéramos que cifrar el mensaje de manera que no pueda ser captado a primera vista. Supongamos que escribo:

ocisúm omoc euf ol hcaB, ocifítneic omoc euf notweN euq oL. Concuerdo en que no es una criptografía muy compleja ni segura, pero me sirve para ejemplificar el punto al que quiero llegar: puedo desde esa cita recuperar fácilmente toda la información que estaba en el original: son por tanto, en cierta medida, equivalentes. He podido transformar una frase en la otra por medio de un conjunto de operaciones que ni quitan ni añaden nada al sentido original de lo que se pretendía expresar. Bueno, al primero que aquí, en los comentarios desvele la frase le recompensaré, no sé, diciendo el nombre del autor de la misma.

Hemos alcanzado un concepto intuitivo de la transformación: consistiría en distorsionar o cambiar un material original de tal modo que:

1. No se pierda ningún fragmento de la información contenida en el material original.
2. No se añada información ausente del original.

Es decir: debemos ser capaces de volver a casa desde una transformación cualquiera sin pérdida de contenidos o significados.

El concepto intuitivo va a resultar suficiente para nuestros propósitos, de momento.

Las cuatro transformaciones temáticas del contrapunto, que son tres, cinco, o siete, según se mire. Y la que falta, que, curiosamente, es la que más se usa.

El contrapunto es una de las más venerables técnicas compositivas occidentales, hasta el punto de que en su momento el conocimiento del contrapunto equivalía al de la composición. Quizá por ello el conocimiento de ciertos procedimientos que no hay por qué usar en forma contrapuntística, y ni siquiera se suelen usar así, se asocia a esta disciplina.

Por diversas razones la tradición quiere que hablemos de cuatro transformaciones temáticas. Iremos viendo que ese número es un tanto arbitrario.

Vamos a comenzar por un procedimiento tan simple, tan sencillo, que ni siquiera se suele considerar una transformación: el que denominamos transporte.

Transporte: para espías

Comencemos otra vez con un ejemplo de espionaje: nuestra Mata-Hari musical necesita una criptografía un poco más segura que la que antes le conferimos. Y al maestro criptógrafo de turno se le ocurre transponer una letra: cuando el mensaje original tenga una “B”, ponemos la “A”, que es la anterior. Cuando tenga una “C”, ponemos la “B”, que es la anterior, y así sucesivamente.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Con este sistema, por ejemplo, la palabra “compositor” se transformaría en:

• La C en B
• La O en Ñ
• La M en L
• La P en O
• La O en Ñ
• La S en R
• La I en H
• La T en S
• La O en Ñ
• La R en Q

Probablemente si el enemigo intercepta el mensaje y ve la palabra “bñloñrhsñq” no piense de forma inmediata en compositores, lo que es afortunado, porque es posible que ganemos así tiempo para escapar.

Sin embargo Mata-Hari encontrará un problema si tiene que, por ejemplo, escribir su propio nombre: en la clave que le hemos proporcionado, como no hay ninguna letra anterior a la “A”, no tenemos con qué sustituirla. La solución más evidente es decretar una especie de “circularidad” del alfabeto, de forma que después de la “Z” venga otra vez la “A”, tantas veces como sea necesario. Nuestro código quedaría así como:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

Z

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Y “MataHari” se transcribiría como:

• La M se transforma en L
• La A se transforma en Z
• La T se transforma en S
• La A se transforma en Z
• La H se transforma en G
• La A se transforma en Z
• La R se transforma en Q
• La I se transforma en H

“Lo siento, Dave”

Con lo que nuestra espía tendría como nombre en clave lzszgzqh. Se dice que que Arthur C. Clarke, queriendo quedar un paso por delante de “IBM” utilizó para el ordenador de “2001, odisea en el espacio” el nombre “HAL”, que sería la transposición de “IBM usando este mismo código.

Es obvio que podemos establecer familias enteras de códigos de este tipo, eligiendo que cada letra equivalga a la que va dos lugares antes, tres lugares… De hecho tantos códigos como letras tenga el alfabeto menos uno.

En todo caso: lo esencial de esta familia de códigos es:

1. Establecemos un orden predeterminado para las letras.
2. Decidimos que al acabar este orden se vuelve a comenzar.
3. Hacemos que cada letra equivalga a una que está un número de veces apartada de la original.

Transporte: para músicos y topólogos

Do(n) es trato de varón
Re(s), selvático animal
Mi denota posesión
Fa(r) es lejos en inglés
Sol, ardiente esfera es
La, al nombre es anterior
Si, asentimiento es
Y de nuevo viene el DO

Si no por aprendizaje en escuelas, guarderías, conservatorios o cualquier otro tipo centro, todos sabemos por la familia Trapp que la escala es circular: después de dichas todas las notas, volvemos a comenzar por el Do.

Nada impide pues que establezcamos un tratamiento musical paralelo al del código que hemos visto en los párrafos anteriores. A esta técnica la denominamos en música transporte. Y resulta extraordinariamente útil: nos da una melodía/fragmento melódico suficientemente parecido al original como para preservar el parámetro de unidad y suficientemente diferente como para aportar variedad.

Para un topólogo, este tratamiento equivaldría a un giro.

Tomemos como ejemplo las primeras notas de la invención nº 1 de Johann Sebastian Bach, que nos han de ser de utilidad en un artículo posterior: “DO-RE-MI-FA-RE-MI-DO”

Si las disponemos en forma cíclica, de forma que tras el “SI” venga de nuevo el “DO”, “DO-RE-MI-FA-RE-MI-DO” , llevado cuatro lugares más allá, se transformaría en “SOL-LA-SI-DO-LA-SI-SOL”. Podemos ver en el gráfico que la operación es equivalente a girar la línea con que hemos representado ese orden de notas.

Hasta ahora puede parecer que estoy hablando de cosas quizá interesantes, pero escasamente artísticas: criptografía, giros… ¿dónde quedan la emoción y la música? El caso es que nuestro oído debe ser un maravilloso criptógrafo y topólogo: va a sentir estas relaciones en términos de familiaridad con algo ya escuchado previamente. En definitiva, va a proporcionarnos el factor que veníamos buscando: variedad dentro de la unidad. Como ejemplo, escuchemos el audio que está aquí debajo: consiste en las siete primeras notas de la invención número 1, primero transportadas a “SOL”, tal como se indica en el gráfico de arriba, y luego sometidas a transporte a todos los grados de la escala. Probablemente la sensación que os cause es de que es CASI música, de que todo encaja bien con todo y de que lo único que falta es organizar ese material para conseguir un resultado interesante y digno. Ésa es justamente nuestra intención como compositores: crear ese tipo de material para luego organizarlo y convertirlo, si no resulta muy cursi decirlo así, en arte. Y aunque aquí esté desglosando cada paso para que resulte de la mayor claridad, el proceso llega a resultar extraordinariamente intuitivo y me atrevo a decir que instintivo.
[audio:http://enriqueblanco.net/wp-content/uploads/2012/09/Inve1001.mp3|titles=Inven01: Transportes]

 

Aún necesitamos mayores recursos, y los iremos viendo en los próximos artículos. Entre tanto, y para abrir boca, os dejo con este canon de “El arte de la fuga” de Bach. Es el mismo procedimiento explorado en el artículo anterior, pero ahora la segunda voz (en música la llamamos consecuente) en lugar de reproducir fielmente la melodía original la transporta a la quinta (“RE” lo transforma en “LA”, y así sucesivamente).

Una obra, también de Bach, absolutamente asombrosa son las “Variaciones Goldberg”. Algo se ha hablado ya de ellas en este blog, y mucho sobre su obra asociada “Catorce cánones sobre el bajo de las Goldberg“. Para lo que ahora nos ocupa: cada tercera variación es un canon, siempre transportado a un intervalo diferente. Así, la tercera variación es un canon al unísono (el consecuente entra a la misma altura que el antecedente), la sexta variación un canon a la segunda (el consecuente está transportado una segunda), la novena variación un canon a la tercera, y así sucesivamente.

 

 

Nota para matemáticos recalcitrantes: no es imposible que echéis de menos que hubiera aludido a la aritmética modular para explicar el concepto de “circularidad” del alfabeto o de la escala. En este caso me parece que sólo hubiera complicado la explicación, pero en este mismo blog podéis leer otro artículo (antepasado de éste, en realidad) donde se alude al tema.

 

Nota para músicos recalcitrantes: no es imposible que echéis de menos que hubiera aludido a las diferencias de transporte según use como referencia la escala cromática o las posibles modulaciones. Me ha parecido por el momento innecesario. Según nuestros amigos no músicos lo vayan teniendo claro, aumentaremos el nivel de complejidad.

 

 

Índice de toda la serie

Visualizar la música, oír las matemáticas (1)

Visualizar la música, oír las matemáticas (2)

Visualizar la música, oír las matemáticas (3)

Visualizar la música, oír las matemáticas (4)

Visualizar la música, oír las matemáticas (5)

Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)